首先数学构建了各种逻辑体系
一个完整的逻辑就是合理的假设——缜密的演绎——结论。西方人就是用这套思维体系构建了现代科学体系,《几何原本》是他们的第一个形式逻辑体系,几千年来他们的思维模式一脉相承。逻辑思维是科学的基础,是创新的源泉,是理性的基础,是现代文明的基石,说他怎么重要都不为过。
这些数学家他们首先设定几个假设,然后进行推演,最后导出各种结论。《逻辑的力量》里讲过,平面几何就是很简单的五个关于点、线、面的公设。然后展开推理、证明,导出各种结论。在有限的二维空间范围内这些结论非常管用。
但是世界毕竟不是无限延展的平面,黎曼几何描绘的是一个经过适当改进的球面,讲的是球面几何,当然就不会有平行线的假设。
当然如果推广到无穷的宇宙,既不是平面也不是球面,罗巴切夫斯基又构建了罗氏几何。
黎曼几何和罗氏几何就是今天我们所说的非欧几何,他们得到了与欧几里得的平面几何完全不一样的结论,但这三种几何又都是正确的,因为他们采用了不同的平行公理假设。
总之,逻辑数学就是数学家提出各种他们认为是合理的假设,通过推导和证明,得出结论。最后有一个最厉害的数学家哥德尔证明了这样的逻辑体系是可靠的,大家可以放心使用,从而奠定了数学中最牢靠的基础。
数学家构建种种形式逻辑体系,很多在当时是没有现实意义的,纯粹是一个形式上可以自圆其说的证明,有时候是为了自娱自乐。但是宇宙极其广大、世界无比精深,有时候在一个局部的领域,世界的构成恰好符合某个数学家构建逻辑假设前提,这时数学的威力就发挥作用了,只要现实世界的实际条件和逻辑数学的假设前提是一致的,现实世界就是按数学的推导演绎发展的。这一点让科学家无比兴奋,他们会感叹上帝啊,世界没有超出我们可以理解的范围!
这类数学家是对人类社会贡献最大的人。
其次是形式主义
很多数学家闭门造车,不关心逻辑的前提假设,他们陶醉于各种数学符号之间的运算,好像在说我才不管这个真实世界呢,我只关心数学符号和公式之间的对称。
这类数学家非常重要,一般是由最有才华的人组成的。
前面我说过,逻辑是由假设、演绎、结论三部分组成的,这些形式主义数学家承担的是演绎工具的提供者。
我们知道演绎的过程是等量置换和不等式交换的过程,比喻说A=B,那么A+C=B+C,A&62;B且B&62;C,那么A&62;C。演绎的过程基本上就是这样的过程,但是世界的等量关系不是这么容易被你发现的,深藏在事物表面的背后,有些真相甚至你明明看到了,但就是推导不过去、证明不了。这往往是因为数学工具不够用,这些数学家就创造大量计算推演工具。
在数学大厦的建立中,只凭直觉和聪明是远远不够的,需要借助十分成熟的数学工具。就像制造一部高性能的精密机器,只凭心灵手巧是不够的,需要借助精密的工具才行。
这些数学家发明了微积分、解析几何、线性代数、高次方程的解决方案等等,他们用这些工具来解决计算和推导中的问题,让事物的关系和真相呈现出来。
逻辑主义和形式主义的划分只是我们从远距离看有这样的划分,实际上它们是交织在一起的,逻辑主义者发明和创造了很多演绎工具,很多形式主义者也构建了自己的逻辑体系。
第三是直观主义
他们更加强调事情的客观性以及结论的可验证性。这些数学家更多地是去寻找数学之间的客观规律。他们一般是由最聪明的人组成的。
比如大家熟悉的哥德巴赫猜想,任何一个大于2的偶数可以写成两个素数之和,到现在没法证明。
还有图论的四色定理,即平面上的地图都可以用四种颜色就可以标注,用数学语言描述就是:平面内不可出现交叉而没有公共点的两条直线。
多少聪明的人在寻找数学规律的道路上乐此不疲,他们需要拥有极高的天赋。
我有一个十分优秀的同事,儿子年龄在上幼稚园大小的时候,有一次钻到玉米地里不肯出来了,出来时发现了每个玉米一圈的粒数都是偶数!
数学家们为人类找出了无数多的规律,特别是在自然数的领域。找出这些规律有什么用呢,掌握规律让我们极大地提高了对世界的认知能力,极大地提高了我们的生活工作效率。你只要沿着数学家找出的规律走,一定是正确的方向。
在这个领域,中国的数学家从古到今也有不俗的建树,说明我们中国人的聪明智商是够的。
数学的流派大概就分为这三种,这是后人远距离观察的结果。实际上数学的每一个分支和流派是交织在一起的,很多数学家都是通才,兼具各方面的能力,只是在某一方面的建树大一些。这样的划分这有点像佛教里的大乘、中乘和小乘。
通过前面的论述,我们不难看出,数学刻画了自然界最根本的运行规律。大到宇宙、小到微观,不同层面、不同规模的时空都有自身存在的前提条件,和这个条件制约下的运行规律。自然界的一切运行都是沿着最简约、最高效率的路线进行的。数学刻画的正是自然界不同层面的种种规律,是自然界运行极致效率的体现。
每一个层面的运行规律都可以用一个数学逻辑体系来表达,这个层面运行的制约条件就是逻辑体系的前提条件。反过来,数学家们凭空构造的逻辑体系和模型,基本上都可以在自然界中找到对应的体系,毕竟自然界极其庞大且复杂,人类能想到的东西宇宙早就具备了。这是人类思维最奥秘和最吸引人的地方。数学是自然界运行规律最简约的表达方式。
数学的实用价值就不用多说了,一切现代的物质生活享受都基于数学。它是人类社会认识自然、利用自然最有力的武器!有了这个工具,人类社会才能够形成现在的局面。
你说数学美不美!
一个民族要培养整体的逻辑思维的能力,估计需要经过几代人的努力,但是任何时候开始也都不算晚。中国学子如果兼具了逻辑思维和辩证思维两种能力,在不同环境下可以自由切换,我们中华民族就会无敌于天下!
之所以在这里强调逻辑学,因为逻辑学就是数学,数学就是逻辑学。”
…………
“嗨,哥们,你听懂陈老师讲的啥吗?”
“没有,我只记住了一句话:逻辑就是数学,数学就是逻辑。”
于是乎,陈元初老师光荣获得了‘陈逻辑’桂冠。
第四节课是俞昊教育长的国文,下课后教室里愁云惨淡,骚年们一片哀嚎……
骚年们就像秋天远空的哨鸽,一会儿飞掠乌云,一会儿穿越彩虹……