（跟上一章同样的理由）</P>

伯克利基数：berkeley 基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数K，具有以下性质：</P>

对于包含k和a＜k的每个传递集m，存在m的非平凡初等嵌入，其中a＜临界点＜K.berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。作为伯克利基数的弱化是，对于Vk上的每个二元关系R，都有(VK，R)的非平凡基本嵌入到自身中。</P>

这意味着我们有基本的</P>

j1，j2, j3...</P>

j1:(Vk,∈)→(VK,∈),</P>

j2：(VK,∈，j1)→(Vk,∈,j1),</P>

j3:(Vk,∈,j1,j2)→(VK,∈，j1，j2)等等。</P>

这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。</P>

因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。对于每个序数入，存在一个ZF+berkeley基数的传递模型，该模型在入序列下是封闭的，是不需要定义的类。</P>

超级莱茵哈特基数：对于任一序数a，存在一j:V→V with j(K)＞a并具有临界点K，可以称为0=1是因为足够大的大基数公理会导致不一致性，从而使该系统下所有命题为真。</P>

伯克利club：基数k是伯克利基数，如果对于任何带k的传递集k∈m和任何序数a＜k，都会有一个初等嵌入j:m＜m和crit j＜k，如果真的存在伯克利基数，那么就会有对力迫扩张绝对，它使最小的伯克利基数有共尾性w，通过对k的施加一定的条件，似乎可以增强berkeley性质，如果k是berkeley和a，a∈m且m有传递，那么对于任意a＜k，都有一个j:m＜m和a＜crit j＜k和crit j(a)=a，对于任意一个可传递的m?k都存在j:m?m与crit j＜K，基数是berkeley，且仅当对于任何传递集m?k存在j:m?m和a＜crit j＜k，因此δ≥k，δ也是伯克利，最小的伯克利基数也被称为δ_a，称k为club-伯克利，如果k是正则的，并且对于所有club→c?k和所有带k的传递集m∈m；有j∈e(m)和crit (j)∈c，称k为limit club伯克利，它是一个club伯克利基数\/limit伯克利基数，如果K为最小的伯克利，则y＜k。</P>

冯·诺依曼宇宙V</P>

V?=?</P>

V＿a+1=p(V＿a)</P>

若λ为极限序数，则V_λ=u_kλ V_k，</P>